你知道不定积分的几何意义是什么吗？

不定积分求的是原函数。若F是f的一个原函数，则称y=F(x)的图象为f的一条积分曲线. 所以f的不定积分在几何上表示f的某一积分曲线沿纵轴方向任意平移所得一切积分曲线组成的曲线族。有图有真相：

这个图看起来似乎有点乱，让老黄给你解释一下。图中紫色的曲线就是被积函数，是反比例函数双曲线的一支，此时x>0. 绿色的这些曲线就是它的积分曲线，有无穷多条，比如F1(x)=lnx，F2(x)=lnx+1，F3(x)=lnx-2，……，lnx+C等，C是常量，可以取任意常数。它们都是竖直平移的关系。你可以说，y=lnx是它最常见的特解，而F(x)=lnx+C是它的通解。

(资料图片仅供参考)

这些积分曲线在横坐标相同的一点的切线是互相平行的，即斜率相等，而这个斜率对应的就是被积函数的函数值。这是导数的几何意义决定的。利用这个图像，我们可以得到某种启发：

在求原函数的具体问题中，先求出全体函数，然后从确定一个满足条件y0=F(x0)(称为初始条件)的原函数，确定积分曲线族中通过点(x0,y0)的那一条积分曲线.

下面利用这个原理来解两道简单的例题：

例1：已知函数f(x)=1/x (x>0)的一个原函数F(x)的图像过点(1, 3), 求F(x)的解析式：

解： F(x)=∫1/xdx=lnx+C. 【此时x>0，否则∫1/xdx=ln|x|+C，(x≠0)，这一点很多人容易忽略，包括老黄自己，真够丢人的】

由F(1)=ln1+C=C=3，得F(x)=lnx+3.

例2：求一曲线y=f(x)，使得在曲线上每一点(x,y)处的切线斜率为2x，且通过点(2,5).

你觉得函数f(x)是被积函数还是原函数呢？虽然我们前面总是把f(x)当作被积函数，但它在这里却是原函数。它的每一点的切线都是2x，即f"(x)=2x是它的导数，因此f"(x)=2x才是被积函数。

解： f(x)=∫2xdx=x^2+C.

由f(2)=4+C=5，得C=1.

∴f(x)=x^2+1.

有了这个知识，结合常见的不定积分公式，就可以解决大多数比较简单的不定积分问题了。赶紧找一道题来练练手吧。